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【解答速報】杏林大学 保健学部 1月29日(数学)解答・解説 2025年度入試

入試分析/解答速報

2025年01月30日

看護医療系専門進学塾の桜芽会です。

桜芽会では、各大学の看護系学部について、入試問題の解答解説を載せていきます。

今回は、杏林大学保健学部 2025年度 1月29日実施入試 数学の解答解説を載せます。

杏林大学保健学部を志望している生徒は是非参考にしてください!

🌸桜芽会では毎年看護系大学/学部の入試解答速報を作っています🌸
問題用紙を返却された大学で、解答速報が欲しい!という方は、ご連絡ください。
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なるべく解答速報を作ります!
<追記>解答速報作成の依頼が多く、時間の関係上、2025年度は「英語」「数学」「生物」に科目を絞らせていただいております。何卒ご理解いただけますと幸いです。

※間違いを見つけた場合も上記からご連絡ください。確認し、訂正させていただきます。

講評

去年と比べると全体としては難化。特に大問1の(2)のⅱ、(3)あたりで時間を取られる受験生が多かったと予想する。

大問2は途中までは易しい問題なのだが、(5)で時間が取られたかもしれない。大問3は確率の問題だが、これは易しい。

大問1で出鼻を挫かれるが、その後立て直すことが出来たかどうかがポイント。取るべき問題をミスなく取れれば合格がグッと近づく。

しかし、相変わらず易しい問題は易しいが、ポイントとなる問題には学校問題集の「研究」や「発展」レベルの問題を入れてきている。

去年も書いたが、色んな問題集に手を出さずに、一つの問題集をやりこんだ生徒が受かるような作りのテストである。

解答解説

※時間の都合上、簡単な解説に留めます。

大問1

(1)絶対値方程式の問題。絶対値が2つあるので、うまく場合分けできたかがポイント。x<−3/2、-3/2≦x≦4/3、x>4/3で場合分けを行う。場合わけをして絶対値を外し、xの値を求めるが、xの値が出てきた際に、最初に場合わけした範囲に入っているかをしっかり確かめること。

(解答)アイ:-4、ウエ:18

(2)(ⅰ)これは典型問題。全てのxについてf(x)>g(x)が成り立つということは、h(x)=f(x)-g(x)とでも置いてあげて、この関数が常に0より大きくなればよい。平方完成によってh(x)の最小値を出して>0としても良いし、x軸より常に上にある=判別式が負として解いても良い。

(解答)オカ:-1、キク:10

(ⅱ)最初にこの問題で躓いた人も多いだろう。実はこれも典型問題ではあるのだが、今回はxの範囲におまけがついている。ここを処理できたかどうかがポイント。まずはI(x)=g(x)-f(x)としてxが正の実数の時にI(x)>0となるxが存在していれば良い。次の図を見ていただきたい。

これはI(x)のy切片(x=0の時のyの値:-28-10a)に注目して場合分けしたものである。

左の図はy切片が正の時を表しているが、この時、xが正の実数の範囲でI(x)>0となるxが存在するのは明らか。

右の図はy切片が負の時を表しているが、この時、「軸が正の範囲にある」かつ「最大値が0より大きい」ときにI(x)>0となる正の実数xが存在する。
※グラフを描いてみれば明らかだが、軸が負の範囲にある時はどう頑張ってもxが正の実数の時にI(x)の値が0を超えることはない。

(解答)ケコサ:-14、シ:5、スセ:10

(3)(ⅰ)これは難問。というよりもいやらしい問題。試験で焦っていると、一見簡単そうなのでベン図のみで解こうとしてしまうが、整数問題に帰着させなければ泥沼にハマってしまう。(ⅱ)の方が簡単なので、(ⅰ)をさくっと飛ばして(4)にいかずに、まずは(ⅱ)を解いてみようとした人はアドバンテージが取れたはず。

まずは上のように人数を文字で表す。すると、問題文で与えられている条件と、A,B,Cどれにも属していない人の人数をyとすることにより、以下の等式を得る。

3x+2(AB+BC+CA)+36=94・・・①(ベン図の重なりを考慮して全てを足した式)
x+(AB+BC+CA)+36+y=72・・・②(全ての領域を1回ずつ足した式)

②を2倍して①から引き、変形すると

x=2y-14・・・③

ここで、A,B,Cそれぞれの人数に注目すると、条件と合わせて

AB+BC+x=25・・・④
AB+AC+x=22・・・⑤
BC+AC+x=11・・・⑥

⑥を変形するとx=11-AC-BCとなる。AC,BCは0を含む自然数のはずなので、x≦11となる。あとはxが11から順に問題の条件を満たすかどうかを調べていくことになる(x=11のとき、x=10のとき、x=9のとき・・・)。

すると、x=8の時にようやく問題文の条件を満たすので、これを答えとする。

(ⅱ)③にy=9を代入すればよい。

(解答)ソ:8、タ:4

(4)(ⅰ)(ⅱ)急にサービス問題。ただの計算なので解説は省略。

(解答)チツ:57、テト:84375

大問2

(1)三角比の問題。AE,BEがそれぞれ二等辺三角形の中線なので、すぐに長さが求められる。あとは△ABEに余弦定理で終了。

(解答)アイ:1,8

(2)図形の対称性から、明らかにHはBE上に存在する。立体図形のままでは解きにくいので、△ABEに注目して(1)で求めたcosの値を使うと、BHの長さが求められ、BEからBHを引けばEHも求められる。

(解答)ウエ:1,3

(3)(2)より、△ABEの中に含まれる△ABHに注目すると、三平方の定理から四面体の高さAHが求められる。

(解答)オカキ:12,7

(4)底面を△ABCで考えた時、AF:FD=1:2より、四面体ABCFの体積:四面体ABCDの体積=1:3(底面共通で高さの比を取る)。

(解答)クケ:4,7

(5)これは難問。時間がかかる(私が解いた方法よりも良い解法があるのかもしれないが・・・)。DHとBCの交点をJとでも置き、△ADJの平面(F,G,Iもこの平面上にある)で考える。ここまでは気付いた受験生も多いと思うのだが、この平面だけを考えていてはこの問題は解けない。この平面に加えて、△BCDの平面から、HJの長さを相似と連比によって求める必要がある。
時間もかかる上に考えることも多いので、これは(3)(ⅰ)同様、解けていなくても合否には直接関わってこない可能性が高い。

(解答)コサシ:3,5,7

(6)(5)が解けた人に対するサービス問題。チェバの定理とメネラウスの定理を使ってくれと言わんばかりの形なので、両方を用いて終了。

(解答)スセ:1,9

大問3

(1)(ⅰ)「最小の目が1になる」のは、「少なくとも1つのサイコロが1」なので、余事象を用いて求める。直接考える場合は以下の通り。
・1つのサイコロが1で残り2つが2以上
・2つのサイコロが1で残り1つが2以上
・3つのサイコロが全て1
※どのサイコロが1を取るか考えなければならないことを忘れずに

(解答)アイウエオ:91,216

(ⅱ)「最大の数が4以下になる」のは、全てのサイコロが1、2、3、4のいずれかを出せば良い。

(解答)カキク:8,27

(ⅲ)「最大の目が4になる」のは「全てのサイコロが4以下である確率(全てのサイコロが3以下である場合を含む)」から「全てのサイコロが3以下である確率」を引けば良い。

(解答)ケコサシス:37,216

(ⅳ)(ⅲ)で用いた解法を利用して以下を求める。

・最小値が1になる確率P(A)
・最大値が4になる確率P(B)
・最小値が1であり、かつ最大値が4である確率P(A∩B)

P(A∩B)は「全てのサイコロが1〜4の範囲にあり、1も4も少なくとも1回は出る」場合の数を数えて求めます(分母は216)。

和の法則より、P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)を用いて求める。

(解答)セソタチツ:55,108

(ⅴ)これまでに求めた値を用いて条件付き確率の公式に入れる。ここまで解けた人のためのサービス問題。

(解答)テトナニ:18,37

(2)nという未知数に惑わされないように。これまでの解法を用いればすんなり解ける問題。出る目の集合は1〜4に限定して話を進める。その中で1と4の両方を含んでいれば良い。

①全てのサイコロの目が1〜4の範囲にある確率(最大が4以下である確率)
②全てのサイコロの目が1〜3の範囲にある確率(最大が3以下である確率)
③全てのサイコロの目が2〜4の範囲にある確率(最小が2以上である確率)
④全てのサイコロの目が2〜3の範囲にある確率(最小が2以上かつ最大が3以下の確率)

を求めると、求める確率は

①-②-③+④(+④は引きすぎた部分を加えている)

(解答)ヌネノ:4,2,3

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