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【解答速報】杏林大学 保健学部 1月30日(数学)解答・解説 2025年度入試

入試分析/解答速報

2025年01月31日

看護医療系専門進学塾の桜芽会です。

桜芽会では、各大学の看護系学部について、入試問題の解答解説を載せていきます。

今回は、杏林大学保健学部 2025年度 1月30日実施入試 数学の解答解説を載せます。

杏林大学保健学部を志望している生徒は是非参考にしてください!

🌸桜芽会では毎年看護系大学/学部の入試解答速報を作っています🌸
問題用紙を返却された大学で、解答速報が欲しい!という方は、ご連絡ください。
X、Instagram、公式LINE、お問い合わせなんでも結構です。
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なるべく解答速報を作ります!

<追記>解答速報作成の依頼が多く、時間の関係上、2025年度は「英語」「数学」「生物」に科目を絞らせていただいております。何卒ご理解いただけますと幸いです。

※間違いを見つけた場合も上記からご連絡ください。確認し、訂正させていただきます。
※今回時間の関係上ダブルチェックを行っておらず、計算ミスがあるかもしれません。後ほどミスを発見した場合は修正の上、Xにて修正点を発表します。

講評

1日目よりも若干優しい印象だが、ハマってしまうと抜け出せなくなる。また、例年同様計算も簡単というわけではないので、時間との勝負になったかと思う。1日目、2日目ともに、大問1と図形の後半に苦労したのではないだろうか。

大問2の図形は平面図形なので少し安心した人もいるかもしれないが、最終問題のメネラウスが少し見えにくい。大問3は1日目同様、非常に優しい。2日目も取るべき問題をしっかり厳選してミスなく解く、ということが非常に重要。

そしてなんといっても、杏林数学の特徴は「意味のない出題は少ない」ということ。特に大問2の図形問題では小問が完全な伏線になっている。数学を教える身としては非常に良問で、これを意識している、していないでは正答率に雲泥の差ができると思う。

これに関してはこの記事の最後にある「新高3向け入試分析/過去問演習講座」でも紹介するので、杏林を目指している人は是非受講してもらいたい。

解答解説

大問1

(1)出題形式は異なるが、1日目同様絶対値に関する問題。2乗とルートを相殺する際は、必ず絶対値をつける。ただ、1日目と異なり、今回はわざわざaの範囲で場合分けをしてくれているので、これは易しい問題。まずはルート内の式を2乗の形にして絶対値にしてルートを外す。aの値により、絶対値内の値が負のときはマイナスをつけて外す、絶対値ないの値が正のときはそのまま外して計算する。

(解答)アイウ:-3,5、エオカキ:-7,-1

(2)xの二次式を置換する問題。まずは関数を簡単にするためにt=x2+2x+3(①)とおく。置換を行った際は「必ず」変域を再設定する必要がある。①の右辺を平方完成することにより、t≧2(x=-1の時最小)を得る。また、tで置換した関数を平方完成する(②)。ここまでで下準備完了。
次に、問題文で与えられているx=-2、y=65を代入してa,bに関する一つ目の等式を得る。
また、②のグラフを考えると、軸:x=-bなので、縦軸がy、横軸がt、bが正であることに注意すると、軸はt<0の範囲にあることがわかる(下図)。

図とt≧2より、最小値は変域の左端(t=2)の時であることが分かるため、t=2と最小値y=10を代入して、二つ目のa,bに関する式を得る。あとは連立方程式でa,bの値を求めれば良い。
※1日目もそうだったが、グラフをちゃんと描いて検討する問題。

(解答)(ⅰ)クケ: -1、(ⅱ)コサ:5,3

(3)集合に関する問題。A,B,Cそれぞれの不等式を解くと、以下の結果を得る。

A:-3<x<12
B:解なし(空集合)
C: -1≦x≦1/2

一瞬Bが空集合?となるが、最小値でも念の為チェックすると確かに空集合・・・。求める集合では空集合はCの補集合と「または」で繋がっているので無視して良い(結果的にAかつCの補集合)。あとは上記の範囲を数直線上で確認し、問題で示されている集合の範囲を求めれば良い。

(4)(ⅰ)(ⅱ)答えを出すのはそんなに難しくはないが・・・解法に迷う問題。どの解法で解いても良いが、自分が得意とするもので時間を節約できたかどうかがポイント。なんなら999から逆に数えていっても答えはでる。

(ⅰ)数えても良いとはいえ、一応解説を。ちなみに、(ⅱ)の解法でも解けるのだが、(ⅰ)に関してはこれから解説する方法(5の倍数の性質を利用する)の方が早い。まずは、題意の数xを以下のようにおく。

x=5m+3
x=7n+5

この2式を連立してxを消去すると、5m=7n+2を得る。左辺は5の倍数なので、右辺も5の倍数になるはずである。ここで右辺について、まずは7の倍数を書き出してみる。

7の倍数7142128354249566370
1の位7418529630

1の位のみに注目すると、この数字の並びが70以降も繰り返されることになる。これらの1の位の数字のうち、2を足して5の倍数になる可能性のあるのは1の位が8のときと、3のときのみである。
※5の倍数の性質:1の位が0か5

①1の位が8になる:7×1の位が4の数(14、24、34、44、・・・など)
②1の位が3になる:7×1の位が9の数(19、29、39、49、・・・など)

3桁の数で上記の条件を満たす最大の数は、①が7×134=938、②が7×139=973(n=134or139)。最大の数を求めるので、n=139を採用する。

(解答)トナニ:978

(ⅱ)こちらは9と13の倍数が関わってくるので、(ⅰ)のような考え方(1の位のみに注目する)はしにくい。不定方程式の解法を使うと比較的簡単に解ける。とはいえ、答えが993なので数えた方が早い気もする・・・。まずは(ⅰ)同様に求める数xを以下のようにおく。

x=9m+3
x=13n+5

xを消して(ⅰ)と同様に変形する・・・のではなく、 9m-13n=2を満たす(m,n)の組をひとつ見つけ、不定方程式の解法の要領で9(m+7)=13(n+5)を導く。ここで、9と13が互いに素なので、m+7は13の倍数、n+5は9の倍数になる。例えばmに注目すると、自然数kを用いてm+7=13k→m=13k-7とおける。

xが3桁の自然数であることから、100≦x≦999より、100≦9m+3≦999→11≦m≦110を得る。これに当てはまる最大のkを求めると、k=9。この時のxを求めれば良い。

(解答)ヌネノ:993

大問2

(1)二等辺三角形ABCにおいて、∠Aの二等分線を引き、その足をHとする(これが後の重要な伏線。杏林大学の補助線は消してはいけない!)。△ACHは直角三角形なので、sinの定義式から値が求められる。

(解答)アイウエ:1,4,15

(2)△ABCに正弦定理を用いて終了。(sinの値は(1)で求めたものを流用)

(解答)オカキクケ:8,15,15

(3)△ABCと△BGDが相似(二辺比狭角相等)なので、△BGDも二等辺三角形。
※実は上記の相似に気付かなくても「コ」が1桁の自然数であることは明らかなので、目分量でもBD=2であることが一発で分かる。私立特有の、数学的解法が分からなくても一瞬で答えが分かってしまう問題の一つ。本質的ではないが、別に将来数学を研究するわけではないと思うので、あくまで数学は合格の手段と捉え、割り切ったテクニックも重要。

(解答)コ:2

(4)方べきの定理(AD×GD=BD×DE)から算出する。方べきの定理を覚えていない人は、△BGDと△AEDの相似から算出する(本来的な意味ではどちらも同じ)。△ABEで角の二等分線定理を用いても良い。

(解答)サシ:3,2

(5)CF=x、EF=yとでも置いて、メネラウスと方べきの定理を用いて算出する方法もあるが、誘導に乗るのであれば∠BAD=∠EADなので、角の二等分線定理と方べきの定理を使う方が良いか?いずれにしても二つの等式から連立方程式で算出する。

前年度もどこかで書いたが、角の二等分線が出てきたら「必ず」角の二等分線定理を意識すること。また、本問はよくある典型パターンで、△ABE、△ABFのダブルで角の二等分線定理を使う問題。

(解答)スセ:8,3

(6)これは(1)の伏線が効いている。一見するとメネラウスの定理があちこちで利用できるので、そのうちのどれかを利用して解くのだろうか?と思いがちだが、それでは解けない。かくいう私も一瞬沼にハマりかけるところだったが、問題文にある点Gの定義「外接円の中心をとおる直線上」という条件を使っていないこと、また、杏林の数学はフリが効いていることを思い出し、以下の図でメネラウスを使うことに成功。深夜で頭も働いていなかったので、思わず「いつもの杏林でいてくれてありがとう」と思った問題。
※図が煩雑になるので、最初の補助線を消していた人はもしかすると沼にハマったかもしれない。
※チェバの定理で解けるのでは?と思った人は図をよく見てほしい。三角形の内部の点は1点で交わっていない。

(解答)ソタチツ:44,49

大問3

(1)(ⅰ)中央値が3.5であるということは、(全体の人数が偶数で)0〜3点までの人数がちょうど半分(8人)であるということ。

(解答)ア:4、イ:1、ウ:2

(ⅱ)平均値が4であること、(ⅰ)より4〜8点までの人数が8人である(b+c=3)であることを用いて、平均値を求める式をたて、=4で結んで等式完成。分散は直接求めても公式を用いて求めても良い。

(解答)エオ:4,5

(2)(ⅰ)全体の平均はグループA、グループBの総計を足し合わせて、人数の合計で割れば良い。

(解答)カキ:52

(ⅱ)求める和をXとでも置いて、(二乗の平均)-(平均)2 =分散(分散は標準偏差の2乗)に代入すれば良い。

(解答)クケコサシス:111000

(ⅲ)(ⅱ)でAグループのデータの2乗総和を求めたので、Bグループでも同様の総和を求めると、34000となる。合計は145000。

すでに求まっている全体平均(52)から、全体の2乗平均を求めると、145000÷50=2900。

よって全体の分散は公式に当てはめて196、標準偏差は14。

(解答)セソ:14

(3)(ⅰ)aを未知数として扱い、公式(二乗の平均)-(平均)2 =分散からs2を求めれば良い。

(解答)タチツテトナニ:3,16,5,2,13

(ⅱ)これは二次関数の問題。(ⅰ)の式を平方完成する。ここで、aの取りうる値を確認すると、単に実数としか言われていないので、負の数や分数も取ることができる。平方完成した式から、最小値を与えるaを求める。

(解答)ヌネノ:20,3

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