看護医療系専門進学塾の桜芽会です。

桜芽会では、各大学の看護系学部について、入試問題の解答解説を載せていきます。

今回は、杏林大学保健学部 2025年度 B日程（2月4日実施入試） 数学の解答解説を載せます。

杏林大学保健学部を志望している生徒は是非参考にしてください！

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＜追記＞解答速報作成の依頼が多く、時間の関係上、2025年度は「英語」「数学」「生物」に科目を絞らせていただいております。何卒ご理解いただけますと幸いです。

※間違いを見つけた場合も上記からご連絡ください。確認し、訂正させていただきます。

講評

ぱっと問題全体を見ると大問2はややこしそうだが、「あれ？これA日程の2日目と同じような図形・・・？」となり、大問1と大問3はそこまで難しくなさそう？と思ってしまう。

結論から言うと、大問1は式変形や、細かい部分の配慮に沼らなければA日程数学よりも解きやすい。図形も杏林数学特有の誘導にうまく乗れればそこまで苦労せず、大問3はA日程同様容易。

全体としてはA日程よりも解きやすい印象なので、あとは時間とミスとの戦いになったと思う。

A日程の時の繰り返しになるが、杏林は解く問題の選定や誘導にうまく乗らないと苦労してしまう可能性がある。志望校対策の結果が出やすい大学なので、新高3生にはぜひ志望校対策講座（ページ下詳細）を受講してもらいたい。

解答解説

大問1

（1）よくある式変形の問題。（ⅰ）は3項の2乗展開から出てくる項だなというあたりをつけて、与えられたa+b+c=6の両辺を2乗してからab+bc+caの値を求めれば良い。

（ⅱ）はもしかするとab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)の因数分解の答えを覚えている人もいたのではないだろうか。覚えていれば瞬殺できる問題であるが、覚えていなくても、与えられた式にa+b=6-c、b+c=6-a、c+a=6-bを代入すると、-3abcと6(ab+bc+ca)が出てくる。こちらもそんなに時間はかからない。

（解答）ア：5、イウ：66

（2）また出てきた！と思わず言ってしまう、二次関数が特定の範囲でx軸と交わる条件を求める問題。与えられた二次方程式の左辺をf(x)として、平方完成で軸までを出しておく。判別式、軸の範囲、f(k)の値に注目して、

①もとの二次方程式の判別式>0
②-4<軸<2
③f(2)>0
④f(-4)>0

これらの共通範囲をとって、条件とする。

（解答）エオ：-6、カキ-3

（3）集合の問題。全部で9個の要素があり、部分集合はそれぞれが「集合に入る、入らない」を選ぶと考えて2の9乗。この時、空集合が含まれているが、空集合も部分集合のうちなので問題ない。

要素が全て偶数のものは、偶数の要素2、4、6、8がそれぞれ「集合に入る、入らない」で考えて2の4乗。ただし、今回は「偶数の要素」が条件なので、空集合を含まない（1を引く）。

「少なくとも」がきたら余事象。今回は、（全て奇数の要素を持つ集合）＋（空集合）を全体から引けば良い。

（解答）クケコ：512、サシ：15、スセソ：480

（4）（ⅰ）aとbの最大公約数をgとして、a=a’g、b=b’gとおくと、ab=a’gb’g=2592（①）。ここで、a’b’gは最小公倍数を表すので、216g=2592からgは12であることがわかる。これを①式に戻すと、a’b’=18なので、a’,b’が自然数でa'<b’、a’とb’は互いに素であることを考慮して適当な数を見つける。

（解答）タチツテ：12,24

（ⅱ）(a’+b’)g=126である（②）。最小公倍数を表す式a’b’g=216をgについて解き、②に代入して分母を払い、左辺を因数分解すると、(7a’-12)(7b’-12)=144となる。ここからa’,b’を求めると、a,bの値がわかる。

この解法は整数問題や数式の変形にある程度精通していないともしかしたら難しいかもしれない。式変形が苦手な人は、本問はaもbも2桁の自然数ということがわかっているので、216=2³✖️3³であること、a+b=126であることから、b=2³✖️3³は不適、b=2³✖️3² =72なら？・・・という具合に大きい数字から試していっても比較的早く答えに辿り着く。私立の穴埋め形式の数学は、きれいに解くことも大事だが、試行錯誤することも大事。

（解答）トナ：54、ニヌ：72

大問2

（1）方べきの定理を用いて終了。与えられた図形が若干不正確なので、一瞬あれ？と思ってしまいそうだが、ここは自信を持って回答したい。

（解答）ア：3

（2）∠FDE=∠FBE（円周角の定理）、∠FBE=∠ADC（円に内接四角形の角度）より、∠FDE=∠ADCなので直角。

（解答）イウ：90°

（3）（2）より、FEは円O₂の直径。AGは円の中心を通る直線なので、Gが円O₂の中心になっている。また、ED⊥AF、DはAFの中点であることから、△EAFはAE=EFの二等辺三角形。

（解答）エオ：9,2

（4）AG=xとして、AI×AG=AB×AE（AI=x-O₂の半径）の方べきの定理で方程式を作る。

（解答）カキクケ：3,2,17

（5）これは杏林によくあるフリの効いた問題。杏林の解法に詰まったら、問題文の条件や、これまでに何を求めさせられたか、その途中経過はなんだったかに立ち返ってみよう。本問はAGとDEがそれぞれ△AEFの中線になっていることから、Hが△AEFの重心になっていることを利用する。

（解答）コサシス：1,2,17

（6）メネラウスの定理でAI:GIを求め、先ほど重心が判明しているHを用いてAH:HGとの練比を利用して終了。

（解答）セソ：5,6

大問3

（1）（ⅰ）超基本問題。PからQヘ行くためには、6個の「右」と4個の「下」が必要なので、同じものを含む順列を用いて求める。

（解答）アイウ：210

（ⅱ）（P→Rの経路）×（R→Sの経路）×（S→Qの経路）で求める。こちらも超基本問題。それぞれの経路の求め方は（ⅰ）と同様、同じものを含む順列。

（解答）エオ：54

（ⅲ）こちらも基本問題。RとSどちらも通らない→全体の経路 −｛（Rのみを通る経路）＋（Sのみを通る経路）−（R,S両方通る経路）｝で求める。もちろん、（R,S両方通る経路）を引いているのは、重複しているためである。

（解答）カキ：54

（2）こちらは中学受験経験者とそうでない人で解法が分かれる（？）かもしれない。今回は経路の数字を足していく方法ではなく、（1）同様、同じものを含む順列を用いて解いてみる。
※どちらを用いても時間的にはあまり変わらない。好みの問題。

（ⅰ）経路を補完して考える（下図。以下この図を用いる）。

PからQまでの最短経路は、（1）で求めたP→Q経路から、補完した図において、PからTを通ってQに至る経路（この経路は本来存在しない）を引く。

（解答）クケコ：110

（ⅱ）これは補完した図ではなく、もとの図で解いた方が早い。R→Sの経路は明らかに2通り（上回りか下回りか）しかないので、P→R（3通り）、S→Q（3通り）までを求め、積の法則で掛ければ良い。

（解答）サシ：18

（ⅲ）補完した図で考える。道があった場合のP→R→Qは105通りであった。ここから、本来は存在しないP→R→T→Q（60通り）を引くと、45通り。P→S→Qにおいても対称性から同様に45通り。これと（ⅱ）の結果を合わせて答えを求める

（解答）スセ：38

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