看護医療系専門進学塾 桜芽会の看護医療系大学入試解答速報

桜芽会では、各大学の看護系学部について、入試問題の解答解説を載せていきます。

今回は、2026年度 杏林大学 保健学部看護学科 一般選抜前期1日目（2月3日実施） 数学の解答解説を載せます。

杏林大学 保健学部看護学科を志望している生徒は是非参考にしてください！

※2026年入試のその他大学や科目の解答速報まとめは「【2026年看護医療系学部】 解答速報まとめ｜看護医療系専門進学塾 桜芽会」をご参照ください。

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2026年杏林大学 保健学部看護学科 一般1日目 数学 講評

例年通り、他の看護医療系の数学入試の中では非常に骨のある問題である。問われていることは基礎的なことには変わりないのだが、杏林は毎年ストレートな問題ではなく、少し尖った問題を出題。ⅠAという限られた範囲で、多様な出題をしてくれるので、個人的には毎年楽しみにしている。

機械的に典型問題を解いてきた受験生は、この出題形式では少し苦戦するだろう。しかし、典型問題の本質をしっかりと理解している受験生は、逆に点差を広げられるという非常に良い入試となっている。

大問1は最初の問題から受験生の出鼻をくじく計算問題。ただ、この手の計算問題は例年出題されるので、対策してきた生徒は落ち着いて対処できたはずだ。そして(2)の方程式の解の範囲。通常二次関数がx軸と交わる範囲として出題される問題（もちろんその解法でもOK）だが、出題者の意図を組んで本解説では解と係数を使って解いた。円順列も絶妙にひねってきているが、アプローチ自体は基本に忠実に。

大問2は図形をみた瞬間、ミスが多発するだろうなと思った。方べきの定理の典型的な図形しか演習していないと、なかなか気づかないのではないだろうか。また、油断すると定理を用いる対象の図形をミスしやすいような図形である。

大問3は確率の問題で、前半は問題なかったと思う。後半はややこしそうに見えるが、実は事象の数自体が多くないので、数え上げでも十分に対応できる。泥臭く試験に向き合えた受験生は得点できただろう。

2026年杏林大学 保健学部看護学科 一般1日目 数学 解答解説

大問1

(1)与式の値をkとして、等式の変形をしていっても解ける。

条件 $a+b-c=0$より $c=a+b$です。
与式$$a\left(\frac1b+\frac1c\right)+b\left(\frac1c-\frac1a\right)+c\left(\frac1a-\frac1b\right)$$

を整理すると$$\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}-\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right) = \frac{a-c}{b}+\frac{b}{c}-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}.$$

ここで $c=a+b$ を代入すると$$\frac{a-(a+b)}{b}+\frac{b}{a+b}-\frac{b}{a}+\frac{a+b}{a}+\frac{a}{a+b} =-1+\frac{b+a}{a+b}-\frac{b}{a}+\frac{a+b}{a} = -1+1+\frac{a}{a}=1.$$

したがって ア = 1。

(2)二次方程式を二次関数として、軸、判別式、f(k)の値を調べて解くこともできる。

判別式$$\Delta = (-2m)^2-4(3m+28)=4(m^2-3m-28)=4(m-7)(m+4)$$

より、実数解条件は$$\Delta\ge 0 \iff m\le -4 \ \text{または}\ m\ge 7.$$

また、2解の和・積は解と係数の関係より$$\alpha+\beta=2m,\qquad \alpha\beta=3m+28.$$

(i) 正の解と負の解をもつ

異符号 $\iff \alpha\beta<0$。よって$$3m+28<0 \iff m<-\frac{28}{3}.$$

この範囲では $m<-\frac{28}{3}<-4$なので実数解条件も満たします。
したがって$$m<-\frac{28}{3}.$$

(ii) 異なる2つの負の解をもつ

「2つとも負」なので$$\alpha+\beta=2m<0 \iff m<0,\qquad \alpha\beta=3m+28>0 \iff m>-\frac{28}{3}.$$

さらに「異なる2解」なので $\Delta>0$、すなわち$$(m-7)(m+4)>0 \iff m<-4\ \text{または}\ m>7.$$

以上をまとめると $m<0$なので $m>7$は不可。よって$$-\frac{28}{3}<m<-4.$$

(3)

(i)「$xy$ が無理数」⇔「$x,y$ ともに無理数」のための条件

$x,y$ がともに無理数でも、$x=\sqrt2,y=\sqrt2$なら $xy=2$（有理数）なので「必要」ではない。また $xy$が無理数でも、$x=1,y=\sqrt2$のように片方が有理数でも起こるので「十分」でもない。
したがって シ = ④。

(ii)「$xy$が有理数」⇔「$x,y$ともに有理数」のための条件

$x,y$がともに有理数なら必ず $xy$は有理数なので「必要」。しかし $x=\sqrt2,y=\sqrt2$で $xy=2$（有理数）となり、$xy$が有理数でも $x,y$がともに有理数とは限らないので「十分」ではない。
したがって ス = ②。

(4)

(i) 男女が交互

男子5人を円周上に並べる：$(5-1)!=24$通り。
その間の5か所に女子5人を並べる：$5!=120$通り。
よって$$24\times 120=2880.$$

センソチタ = 2880

(ii) 同じクラスの2人が隣り合う

各クラス（男女2人）を1つのブロックとみなすとブロックは5個。円順列で $(5-1)!=24$通り。各ブロック内の並びは2通り（男→女、女→男）なので $2^5=32$。
よって$$24\times 32=768.$$

ツテト = 768

大問2

(1)

点Aから円 $O_1$への接線が $AD$、割線が $AB$であるから方べきの定理より$$AD^2=AE\cdot AB$$

より$$3^2=1\cdot AB \Rightarrow AB=9$$

したがって$$BE=9-1=8$$

(2)

点Cから見ると、$F$は $BC$ の延長上にあり$$CF=CB+BF=4+12=16$$

である。方べきの定理より$$CB\cdot CF=CD^2$$

すなわち$$4\cdot 16=CD^2 \Rightarrow CD=8$$

よって$$AC=AD+DC=3+8=11$$

△ABCに余弦定理を用いると$$\cos\angle ABC =\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC} =\frac{9^2+4^2-11^2}{2\cdot 9\cdot 4} =-\frac13$$

(3)

$F$は $BC$の延長上にあるので$$\angle EBF=180^\circ-\angle ABC$$

となる。よって$$\cos\angle EBF=-\cos\angle ABC=\frac13$$

△EBFに余弦定理を用いると$$EF^2=8^2+12^2-2\cdot 8\cdot 12\cdot \frac13 =144$$

より$$EF=12$$

(4)

円 $O_1$は△EBFの外接円である。
$\cos\angle ABC=-\frac13$より$$\sin\angle ABC=\frac{2\sqrt2}{3}$$

また$$\angle EBF=180^\circ-\angle ABC$$

であるから$$\sin\angle EBF=\frac{2\sqrt2}{3}$$

正弦定理より$$2R_1=\frac{EF}{\sin\angle EBF} =\frac{12}{\frac{2\sqrt2}{3}} =9\sqrt2$$

したがって$$R_1=\frac{9\sqrt2}{2}$$

(5)

△BCEに余弦定理を用いると$$CE^2=4^2+8^2-2\cdot 4\cdot 8\left(-\frac13\right) =\frac{304}{3}$$

よって$$CE=\sqrt{\frac{304}{3}}$$

ここで正弦定理より$$2R_2=\frac{CE}{\sin\angle ABC} =\frac{\sqrt{304/3}}{\frac{2\sqrt2}{3}}$$

整理すると$$R_2=\frac{\sqrt{114}}{2}$$

(6)

弦 $BE=8$BE=8 の半分は4である。円 $O_1$の中心から弦までの距離は$$\sqrt{\left(\frac{9\sqrt2}{2}\right)^2-4^2}=\frac{7\sqrt2}{2}$$

円 $O_2$では$$\sqrt{\left(\frac{\sqrt{114}}{2}\right)^2-4^2}=\frac{5\sqrt2}{2}$$

中心は弦をはさんで反対側にあるから$$I_1I_2=\frac{7\sqrt2}{2}+\frac{5\sqrt2}{2}=6\sqrt2$$

大問3

全事象は同時に2枚引くので $\binom{10}{2}=45$通り。

(1) 同色

赤3枚：$\binom{3}{2}=3$、青3枚：3、黄4枚：$\binom{4}{2}=6$。合計 12。$$\frac{12}{45}=\frac{4}{15}.$$

ア／イウ = 4／15

(2) 直接求めても計算量は大したことはないが、今回は余事象を使う。

奇数同士の積のみ奇数。奇数は5個（1,3,5,7,9）なので $\binom{5}{2}=10$。$$P(X\text{偶})=1-\frac{10}{45}=\frac{35}{45}=\frac79.$$

エ／オ = 7／9

(3) こちらも余事象をとらなくてもそこまで大した量にはならないが、本稿では余事象を用いる。

3の倍数（3,6,9）が1枚も含まれない場合は7個から2枚：$\binom{7}{2}=21$。$$1-\frac{21}{45}=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}.$$

カ／キク = 8／15

(4) 事象が少ないので、数え上げで十分対応できる。

赤(1,2,3)：(1,3),(2,3)の2通り。
青(4,5,6)：(4,6),(5,6)の2通り。
黄(7,8,9,10)：9を含む3通り。合計7通り。$$\frac{7}{45}.$$

ケ／コサ = 7／45

(5)

A：Xが3の倍数である,B：2枚のカードが同色であるとする。

求める確率は条件付き確率$$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

である。

(3)より$$P(A)=\frac{8}{15}$$

(4)より$$P(A\cap B)=\frac{7}{45}$$

したがって$$P(B\mid A) =\frac{\frac{7}{45}}{\frac{8}{15}} =\frac{7}{45}\times\frac{15}{8} =\frac{7}{24}$$

(6) 事象数が少ないので、数え上げで十分。

小さい方が5なので (5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10) の5通り。$$\frac{5}{45}=\frac19.$$

ソ／タ = 1／9

(7) $Y=5$が前提になっている（条件付き）ので、この時の事象を書き出せばよい。

上の5通りのうち異色は (5,7),(5,8),(5,9),(5,10) の4通り。$$\frac{4}{5}.$$

チ／ツ = 4／5

(8)確率変数とそれに対する確率は表のとおり。

$Y$ の値（確率変数）	該当する組の数	確率
1	9通り	$\frac{9}{45}$
2	8通り	$\frac{8}{45}$
3	7通り	$\frac{7}{45}$
4	6通り	$\frac{6}{45}$
5	5通り	$\frac{5}{45}$
6	4通り	$\frac{4}{45}$
7	3通り	$\frac{3}{45}$
8	2通り	$\frac{2}{45}$
9	1通り	$\frac{1}{45}$

上記の表からY の期待値$$\begin{aligned} E(Y) &=1\cdot\frac{9}{45} +2\cdot\frac{8}{45} +3\cdot\frac{7}{45} +4\cdot\frac{6}{45} +5\cdot\frac{5}{45} \\ &\quad +6\cdot\frac{4}{45} +7\cdot\frac{3}{45} +8\cdot\frac{2}{45} +9\cdot\frac{1}{45} \\ &=\frac{165}{45} =\frac{11}{3} \end{aligned}$$

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