看護医療系専門進学塾 桜芽会の看護医療系大学入試解答速報

桜芽会では、各大学の看護系学部について、入試問題の解答解説を載せていきます。

今回は、2026年度 杏林大学 保健学部看護学科 一般選抜前期2日目（2月3日実施） 数学の解答解説を載せます。

杏林大学 保健学部看護学科を志望している生徒は是非参考にしてください！

※2026年入試のその他大学や科目の解答速報まとめは「【2026年看護医療系学部】 解答速報まとめ｜看護医療系専門進学塾 桜芽会」をご参照ください。

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2026年杏林大学 保健学部看護学科 一般1日目 数学 講評

1日目よりも問題の難易度の差が激しい試験であった。大問1に関しては全体的に1日目よりも優しい。大問1の(2)は二次関数の理解を問うのに良い問題で、学校問題集にも同じような問題が出ているのだが、所見の受験生は解けなかった人もいるだろう。

大問2の前半は易しい。しかし、後半になってくると数値もややこしくなるので、時間を浪費した受験生も多いのではないだろうか。(4)は方べきの定理が見えるかどうか、(5)はこれも頻出だが、角の二等分線定理を二つの三角形で使えたかどうか（メネラウスでも解ける）、（6）は余弦定理でも解けるが、せっかくなので角の二等分線定理の長さの公式を用いた。

大問3は1日目同様、事象の数が多くないので、すべて書き出して求めればよい。

総じて典型解法＋αで時間を節約できたかどうか、簡単な問題と難問を早々に区別して得点を重ねることができるかがが勝負の分かれ目になっただろう。

2026年杏林大学 保健学部看護学科 一般1日目 数学 解答解説

Ⅰ

(1)

$1+2\sqrt5=5+(2\sqrt5-4)$であるから、小数部分は$$a=2\sqrt5-4$$

(i)

$$a+\frac{4}{a}=(2\sqrt5-4)+\frac{4}{2\sqrt5-4}$$

分母を有理化すると$$\frac{4}{2\sqrt5-4} =\frac{4(2\sqrt5+4)}{(2\sqrt5)^2-4^2} =\frac{8\sqrt5+16}{4} =2\sqrt5+4$$

したがって$$a+\frac{4}{a}=4\sqrt5$$

(ii)

$$a^2+\frac{16}{a^2} =\left(a+\frac{4}{a}\right)^2-2\cdot4 =(4\sqrt5)^2-8 =80-8=72$$

(2)

(i)

グラフは下に凸であるから$$a<0$$

軸が $y$ 軸の右側にあるので$$-\frac{b}{2a}>0$$

であり、$a<0$から$$b>0$$

また $x=0$のとき（y切片） $y>0$より$$c>0$$

さらにグラフが $x$軸と2点で交わるので$$b^2-4ac>0$$

(ii)

$$y=ax^2-6ax+7a+b$$

を変形すると$$y=a(x-3)^2-2a+b$$

区間 $2\le x\le5$で頂点 $x=3$を含む。
$a<0$なので最大値は頂点で$$-2a+b=-2$$

最小値は端点 $x=5$で$$2a+b=-6$$

連立すると$$a=-1,\quad b=-4$$

(3)今回は解説を省略するが、集合の図を書けば集合Aが12の倍数の否定であることがすぐわかるはず。集合Bに関しても同じく図を書けばすぐにわかる。

集合 $U=\{1,2,\cdots,100\}$。

集合 A

$$A=\{x\mid xは4の倍数でない\ または\ 6の倍数でない\}$$

これは「12の倍数」の否定である。
12の倍数は$$\left\lfloor \frac{100}{12} \right\rfloor=8$$

よって$$|A|=100-8=92$$

集合 B

$$B=\{x\mid 4の倍数でも6の倍数でもない\}$$

4の倍数は25個、6の倍数は16個、12の倍数は8個より$$|4の倍数 \cup 6の倍数| =25+16-8=33$$

したがって$$|B|=100-33=67$$

(4)標準偏差を利用する計算は、（2乗の平均）-（平均）²で等式にしてもよい。

平均が10より$$x+y+z=30$$

標準偏差4より$$(x-10)^2+(y-10)^2+(z-10)^2=48$$

展開すると$$x^2+y^2+z^2-20(x+y+z)+300=48$$$$x^2+y^2+z^2=348$$

また$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$$

より$$xy+yz+zx=276$$

Ⅱ

(1)

余弦定理より$$\cos\angle ACB =\frac{9^2+10^2-5^2}{2\cdot9\cdot10} =\frac{13}{15}$$

(2)

(1)より$$\cos\angle ACB=\frac{13}{15}$$

であるから、$$\sin\angle ACB=\sqrt{1-\cos^2\angle ACB} =\sqrt{1-\left(\frac{13}{15}\right)^2} =\sqrt{\frac{56}{225}} =\frac{2\sqrt{14}}{15}$$

よって三角形 $ABC$の面積 $S$は$$S=\frac12\cdot CA\cdot CB\cdot \sin\angle ACB =\frac12\cdot 9\cdot 10\cdot \frac{2\sqrt{14}}{15} =6\sqrt{14}$$

一方，内接円の半径を $r$とすると，三角形の面積は$$S=\frac12 r(AB+BC+CA)$$

である。ここで $AB+BC+CA=5+10+9=24$より$$6\sqrt{14}=\frac12 r\cdot 24=12r$$

したがって$$\boxed{r=\frac{\sqrt{14}}{2}}$$

(3)△BCGの余弦定理でも解けるが、ここではあえて角の二等分線定理の長さの公式を用いてみる。

角の二等分線定理より$$\frac{AG}{GC} =\frac{AB}{BC} =\frac{5}{10}$$

よって$$AG=3,\ GC=6$$

さらに角の二等分線の長さの公式（気になる人は検索してください）より$$BG=4\sqrt2$$

(4)

接線の性質より$$AD=AF,\ BD=BE,\ CE=CF$$

$AD=x$とすると$$BE=5-x,\quad CE=10-(5-x)=5+x$$

また$$AC=x+CE=9$$

より$$x=2$$

したがって$$BE=3,\quad CE=7$$

(1)より $\cos\angle ACB=\frac{13}{15}$​。
三角形 $ACE$に余弦定理を用いると$$AE^2=9^2+7^2-2\cdot9\cdot7\cdot\frac{13}{15} =\frac{104}{5}$$

したがって$$AE=\frac{2\sqrt{130}}{5}$$

ここで方べきの定理より$$AD^2=AH\cdot AE$$

よって$$HE=AE-\frac{4}{AE} =\frac{21\sqrt{130}}{65}$$

(5)

三角形 $ABE$において、$BJ$は角の二等分線であるから$$\frac{AJ}{JE}=\frac{AB}{BE}=\frac{5}{3}$$

よって$$JE=\frac{3}{8}AE=\frac{3\sqrt{130}}{20}$$

図より$$HJ=HE-JE$$

したがって$$HJ=\frac{9\sqrt{130}}{52}$$

(6)これも角の二等分線定理の長さの公式を用いているが、もちろん余弦定理でも解ける。

内接円の接点より $IE\perp BC$であり$$IE=r=\frac{\sqrt{14}}{2}$$

三角形 $BEI$は直角三角形であるから$$BI^2=3^2+\left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)^2 =\frac{25}{2}$$$$BI=\frac{5\sqrt2}{2}$$

三角形 $ABE$の角の二等分線の長さより$$BJ^2=AB\cdot BE-AJ\cdot JE =\frac{81}{8}$$$$BJ=\frac{9\sqrt2}{4}$$

したがって$$IJ=BI-BJ=\frac{\sqrt2}{4}$$

Ⅲ

全事象は$$\binom{5}{3}=10$$

(1) $P(X=5)$

5を含む組は $\binom42=6$ 通り。$$P(X=5)=\frac{6}{10}=\frac35$$

(2) $P(Y=2)$

最小が2 ⇔ 2を含み1を含まない。残り2個は $\{3,4,5\}$から。 $\binom32=3$通り。$$P(Y=2)=\frac{3}{10}$$

(3) $P(X-Y=2)$

$\{1,2,3\},\{2,3,4\},\{3,4,5\}$の3通り。$$P(X-Y=2)=\frac{3}{10}$$

(4) $E[X]$

最大値の分布：$$P(X=3)=\frac{1}{10},\quad P(X=4)=\frac{3}{10},\quad P(X=5)=\frac{6}{10}$$$$E[X]=3\cdot\frac{1}{10}+4\cdot\frac{3}{10}+5\cdot\frac{6}{10} =\frac{45}{10}=\frac{9}{2}$$

(5)

$$E[Y]=1\cdot\frac{6}{10}+2\cdot\frac{3}{10}+3\cdot\frac{1}{10} =\frac{6+6+3}{10}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$$

（4）より $E[X]=\dfrac{9}{2}$​。したがって期待値の線形性より$$E[X-Y]=E[X]-E[Y]=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=3$$$$\boxed{E[X-Y]=3}$$

(5)事象の数は全10通りなので、すべての場合を調べてみるとすぐに求められる。 $Y$の値で場合分けして数える。この10通りがすべて同様に確からしく起こることを前提として、確率変数のみを加算し、最後に10で割る。

1) $Y=1$のとき（6通り）

組は $\{1,a,b\}\ (2\le a<b\le5)$。このとき $X=b$なので$$\left\lfloor \frac{X}{Y}\right\rfloor=\left\lfloor \frac{b}{1}\right\rfloor=b$$

$b$の取り方ごとの通り数は

• $b=3$：$\{1,2,3\}$の1通り → 値3
• $b=4$：$\{1,2,4\},\{1,3,4\}$の2通り → 値4が2回
• $b=5$：$\{1,2,5\},\{1,3,5\},\{1,4,5\}$の3通り → 値5が3回

したがって合計は$$3\cdot1+4\cdot2+5\cdot3=3+8+15=26$$

2) $Y=2$のとき（3通り）

組は $\{2,3,4\},\{2,3,5\},\{2,4,5\}$。それぞれ$$\left\lfloor \frac{4}{2}\right\rfloor=2,\quad \left\lfloor \frac{5}{2}\right\rfloor=2,\quad \left\lfloor \frac{5}{2}\right\rfloor=2$$

よって合計は $2+2+2=6$。

3) $Y=3$のとき（1通り）

組は $\{3,4,5\}$のみで$$\left\lfloor \frac{5}{3}\right\rfloor=1$$

合計は1。

全体の合計は$$26+6+1=33$$

よって$$E\!\left(\left\lfloor \frac{X}{Y}\right\rfloor\right)=\frac{33}{10}$$

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