看護医療系専門進学塾 桜芽会の看護医療系大学入試解答速報

桜芽会では、各大学の看護系学部について、入試問題の解答解説を載せていきます。

今回は、2026年度 国立看護大学校 看護学部看護学科 一般選抜（数学）の解答解説を載せます。

国立看護大学校 看護学部看護学科を志望している生徒は是非参考にしてください！

※2026年入試のその他大学や科目の解答速報まとめは「【2026年看護医療系学部】 解答速報まとめ｜看護医療系専門進学塾 桜芽会」をご参照ください。

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2026年国立看護大学校 看護学部看護学科 一般選抜 数学 講評

大問1では（１）から、単に解を求めればいいという問題ではなく、その解法までを指定してくる問題が出てくる。もちろん、記述よりもマーク式のテストの方が楽なことは確かだが、このように解法を指定された時は、マーク式ならではの難しさがある。また、後半の十分条件に関しても、単に→が十分、←が必要、と機械的に暗記している生徒には少し難しかったのではないだろうか。ただ、これ以外は単純問題。

大問2は全体的にオーソドックスな二次関数の問題。これはあまりひねっていないので、確実に得点しておきたいところ。最後の問題はちょうど良いレベルの合否に関わる問題なので、きちんとグラフを書いて条件を確認したい。

大問3は図形問題だが、これは簡単。特に（２）で二重根号に関する注意書きがあったのには驚いた。これははっきり言って過剰ではないかと思う。個人的にはなぜこれだけ注釈がついているのか謎である（これに注釈をつけるのであれば、大問１の共分散の公式も示さなければならないレベルの注釈）。

大問4も標準的なレベルの問題。最後の問題だけ、グループが区別されないことに注意して解く。

大問5は図形を書いてみれば良いのだが、これが線分の数が多く、メネラウスの定理をどこで使うかがすぐに見つけづらい。ただ、tの値が変わっても、求め方は変わらないので、（３）はおまけ問題。

総じて、全体的に難問と言える問題はなかった。試験で緊張している中で、大問1の最初さえ乗り切ってしまえば、十分に高得点が狙えただろう。

2026年国立看護大学校 看護学部看護学科 一般選抜 数学 解答解説

第1問

(1)因数分解で解くのではなく、平方完成を用いて変形すれば、空欄に当てはまる形になる。2乗を外す時は絶対値がつくことに注意する必要があるが、これは問題文に記載されている。$$\boxed{\left|x-\frac12\right|>\frac52}$$

十分条件になる a の範囲$$x^2-5ax-6a^2=(x-6a)(x+a)$$

より$$x^2-5ax-6a^2\ge0 \iff x\le -a \text{ または } x\ge 6a$$

一方$$x^2-x-6>0 \iff x<-2 \text{ または } x>3$$

これが常に後者を満たすには、

• $x<-2$が常に $x\le -a$を満たす必要 → $-2\le -a\Rightarrow a\le2$
• $x>3$が常に $x\ge6a$を満たす必要 → $3\ge6a\Rightarrow a\le\frac12$

よって$$\boxed{0<a\le\frac12}$$

(2)（平均・分散・共分散）

表より
A：23,24,35,41,32,44,46（7年）
B：32,42,47,45,36,37,41（7年）

平均$$\bar A=\frac{245}{7}=35,\quad \bar B=\frac{280}{7}=40$$

Bの分散$$\frac{1}{7}\sum (B-40)^2=\frac{168}{7}=24$$

共分散$$\frac{1}{7}\sum (A-35)(B-40)=\frac{100}{7}$$第2問

与式$$f(x)=x^2+6x+4a^2-20a+16,\quad g(x)=x^2-(6b+2)x+10b^2+2b+2$$

(1) $0\le x\le2$における $f$の最小値 $m$

（頂点は $x=-3$）なので最小は $x=0$。$$m=f(0)=4a^2-20a+16$$

これは上に開く放物線で頂点 $a=\frac{20}{8}=\frac52$。$$m_{\min}=4\left(\frac52\right)^2-20\left(\frac52\right)+16=25-50+16=-9$$

(2) $0\le x\le2$における $f$の最大値 $M$

同様に最大は $x=2$。$$M=f(2)=4a^2-20a+32$$

上に開くので最大は端 $a=0$または $a=3$：（端の値のどちらかなので、どっちも調べて比較すれば良い）$$M(0)=32,\quad M(3)=8$$

最大は 32。

(3) $g(x)$の最小値を最小にする $b$

平方完成（または頂点）より、$g$の最小値は$$\min g =10b^2+2b+2-\frac{(6b+2)^2}{4}=b^2-4b+1=(b-2)^2-3$$

これが最小となるのは $b=2$、値は $-3$。

（4）

共有点が1つ ⇔ $x\ge1$に解が1つ（この形では「大きい方の解が $1$以上」でOK）。$$f(x)=0 \text{ の判別式 }D=36-4(4a^2-20a+16)$$

大きい解 $-3+\frac{\sqrt D}{2}\ge1 \iff \sqrt D\ge8\iff D\ge64$
計算すると$$D\ge64 \iff 4a^2-20a+23\le0$$

解は$$a=\frac{5\pm\sqrt2}{2}$$

よって$$\boxed{\frac{5-\sqrt2}{2}\le a\le\frac{5+\sqrt2}{2}}$$

後半：

$g(x)$の軸は$$x=3b+1$$

であり、これは $b$によって $x=1$の左右に移動するため、原則として場合分けが必要である。

• 軸が $x<1$にある場合（$b<0$）
  このとき $x\ge1$では単調増加となるが、 $$g(1)=10b^2-4b+1>0$$が常に成り立つため、共有点は存在しない。
• よって「共有点がただ1つ」となるためには、接する場合（重解）のみが可能である。

したがって、判別式を0とすると$$b^2-4b+1=0$$

より$$b=2\pm\sqrt3$$

大問3

（1）

三角形 $ABC$において正弦定理より$$\frac{AB}{\sin60^\circ}=\frac{BC}{\sin45^\circ}$$

したがって$$AB=2\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ} =2\cdot\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} =\sqrt{6}$$

Dは外接円上で $AD=BD$より、等弦に対する円周角が等しいので$$\angle ACD=\angle DCB$$

また $\angle ACB=60^\circ$ だから$$\angle ACD=\angle DCB=30^\circ$$

△ACD に余弦定理（角C=30°）を用いると$$AD^2=AC^2+CD^2-2\cdot AC\cdot CD\cos30^\circ =AC^2+CD^2-\sqrt3\,AC\cdot CD$$

ここで（前段で求めた）値を代入して整理すると$$\boxed{CD=\sqrt3-1}$$（2）
辺の比を用い，斜辺を$$PS=2$$$$PR=1,\quad SR=\sqrt{3}$$

また$$PS=SQ$$$$SQ=2$$

であるから$$QR=QS+SR=2+\sqrt{3}$$

△PQR は直角三角形であるため，三平方の定理より$$PQ^2=PR^2+QR^2 =1+(2+\sqrt{3})^2 =8+4\sqrt{3}$$

したがって$$\sin\angle PQR=\frac{PR}{PQ} =\frac{1}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}} =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$

△PSQ は二等辺三角形であり，$$\angle PSQ=180^\circ-30^\circ=150^\circ$$

よって底角は$$\angle PQS=15^\circ$$

となる。
$Q,S,R$Q,S,R は一直線上にあるから$$\angle PQR=15^\circ$$

（3）

D は外接円上にあり，かつ$$AD=BD$$

であるから，△ABD は正三角形となり$$AB=AD=BD=\sqrt{6}$$

また$$\angle ACB=60^\circ$$

であることから，同一弦 $AD$に対する円周角より$$\angle ACD=60^\circ$$

△ACD に余弦定理を用いると$$AD^2=AC^2+CD^2-2\cdot AC\cdot CD\cos60^\circ$$

ここに$$AD=\sqrt{6},\quad AC=1+\sqrt{3}$$

を代入して整理すると$$CD=\sqrt{3}-1$$

次に四角形 $ABCD$の面積を求める。
正三角形 △ABD と三角形 △BCD に分けて考える。$$[ABCD]=[ABD]+[BCD]$$$$[ABD]=\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{6})^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$$$[BCD]=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD\cdot \sin60^\circ =\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (\sqrt{3}-1)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

よって$$[ABCD]=\frac{2\sqrt{3}+3}{2}$$

大問4

（1）

• $1,1,6$に分ける場合

$$\frac{1}{2!}\binom{8}{1}\binom{7}{1}=28$$

• $2,2,4$に分ける場合

$$\binom{8}{4}\cdot \frac{1}{2!}\binom{4}{2}\binom{2}{2} =210$$

• $3,3,2$に分ける場合

$$\binom{8}{2}\cdot \frac{1}{2!}\binom{6}{3} =280$$

（2）

$3,3,2$の分け方で，AとBが同じ組になる場合を考える。

• A，B が 2人組に入る場合：

$$\binom{6}{3}=10$$

• A，B が 3人組に入る場合：

$$\binom{6}{1}\binom{5}{2}=60$$

よって$$10+60=70$$

（3）

A，B，C がすべて異なる組に入る場合を考える。2人組に入る人物を 3 通り選び，相方を 5 通り選ぶ。残り 4 人から すでに1人枠の埋まった3 人組（4人から2人ずつ選ぶ）作る方法は $\binom{4}{2}$通り。

よって$$3\times5\times6=90$$

大問5

（1）

メネラウスの定理を用いると$$\frac{AR}{RB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CP}{PA}=1$$

ここで$$\frac{BD}{DC}=1,\quad \frac{CP}{PA}=\frac{PN}{PM}=\frac{1-t}{t}$$

より$$\frac{AR}{RB}=\frac{t}{1-t}$$

同様に，メネラウスの定理を用いると$$\frac{AQ}{QC}\cdot\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BP}{PA}=1$$

ここで$$\frac{CD}{DB}=1,\quad \frac{BP}{PA}=\frac{PM}{PN}=\frac{t}{1-t}$$

より$$\frac{AQ}{QC}=\frac{1-t}{t}$$

したがって $t=\dfrac13$ のとき$$AQ:QC=1:3,\quad AR:RB=1:2$$$$AN=AM=1$$

であるから$$AQ=QN=\frac12 \Rightarrow \frac{AQ}{QN}=1$$

また$$AR=\frac{4}{5},\quad RM=\frac{1}{5}\Rightarrow \frac{AR}{RM}=4$$（2）

一般に$$AQ:QC=(1-t):t,\quad AR:RB=t:(1-t)$$

より$$CQ=\frac{2}{t+1},\quad BR=\frac{2}{2-t}$$

したがって$$\frac{1}{CQ}+\frac{1}{BR} =\frac{t+1}{2}+\frac{2-t}{2} =\frac{3}{2}$$

（3）$t=\dfrac14$を代入するだけ。

$$CQ=\frac{2}{1+\frac14}=\frac{8}{5},\quad BR=\frac{2}{2-\frac14}=\frac{8}{7}$$

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